1 研究背景简介
1.1 研究背景与意义
香烟烟雾中含有数千种化学物质，其中包括一氧化碳、尼古丁、苯等多种对人体有害的成分。这些物质在室内封闭环境中容易积聚，对人体健康构成显著威胁，尤其是二手烟和三手烟的危害已引起广泛关注。报告显示，2018年中国不吸烟者的二手烟暴露率为68.1%，其中家庭和工作场所是二手烟暴露的主要场所，这表明室内烟雾污染已成为影响公众健康的重要问题。因此，我们希望通过研究烟雾在室内环境中的扩散规律，为烟雾的控制、空气污染防治或室内空气质量管理提供参考，并帮助优化通风设计或制定健康防护措施。
烟雾的扩散过程受到室内温湿度、气流模式、房间结构及家具布置等多种因素的影响，具有较高的复杂性和随机性。深入研究烟雾扩散的传输机制，可以帮助揭示其污染范围与浓度分布，为优化室内空气质量管理提供理论支持。但在估计和预测吸入暴露风险时，由于与生物伦理学和动物保护相关的潜在限制，涉及人类志愿者和其他用于毒理学研究的哺乳动物替代模型的体内研究存在局限性。出于这样的考虑，我们希望通过理论分析建模与数值模拟的方式，得到烟雾扩散的一般规律，从而为提出可能的防控手段提供理论依据。
通过实验和仿真研究，能够验证不同通风方案对烟雾扩散的控制效果，为改善居住环境提供技术支持；利用数值模拟，可以精确再现不同环境下烟雾的扩散过程，从而更直观地评估各类干预措施的有效性。这种方法不仅降低了研究成本，还能为制定更加科学、精确的室内空气污染防控策略提供强有力的支持。
1.2 研究目标
本研究旨在探讨室内封闭环境下烟雾的扩散特性，基于扩散方程等物理原理与数学物理方法对烟雾的扩散情况进行解析求解与数值模拟，重点分析烟雾的流动路径、扩散速率和浓度分布，以优化空气管理和烟雾控制策略。
在具体的研究过程中，我们主要采用特定尺寸的密封容器来模拟室内封闭环境以便于实验开展与现象观察；同时，我们的研究主要关注扩散过程中烟雾的扩散效果、扩散速度以及不同时刻的浓度分布这三个要素，并通过定量计算测量与定性观察现象相结合的方式，得到烟雾扩散浓度空间分布随时间变化的的一般数学物理规律，从而为设计室内烟雾浓度控制系统提供理论依据。
2 理论分析求解
2.1 研究对象
在实际研究过程中，为方便实验的开展，我们选择了粒径分布在0.1~10微米范围内的植物甘油（丙三醇）气雾作为研究对象，这也是电子烟烟雾的主要成分之一。之所以使用植物甘油气雾来代替香烟烟雾进行研究，主要出于以下考量：
安全性：植物甘油为食品级材料，无健康与环境污染风险
可控性：植物甘油气雾生成过程可控，可进行定量化分析
易获取性：价格低廉，易于获取
可重复性：物质纯度高，化学性质稳定
具体而言，植物甘油气雾具有以下几条显著的理化特性：
无色无臭，有甜味，极易溶于水
密度（25℃）：1.26 g/cm^3
分子量： 92.09 g/mol
主要粒径属于典型气溶胶粒径范围
挥发性极低，以小颗粒悬浮于空气中
在研究过程中进行这样的材料替换，具有如下的合理性：
植物甘油气雾与香烟烟雾的气溶胶形成机制相同（蒸发-冷凝），二者在扩散和湍流行为上具有共性
二者粒径分布相似，具备相似的扩散动力学特征
二者在扩散过程中的视觉效果接近，便于追踪扩散行为
在本研究的理论分析部分，重点关注植物甘油气雾的浓度（即单位体积中该种物质颗粒的质量）ρ(x, y, z, t)这一物理量在研究区域（长为x_0 = 40cm，宽为y_0 = 50cm，高为z_0 = 60cm的长方体规则区域）空间范围内的分布情况及其随时间的变化情况。
2.2 数学物理方程的导出
针对烟雾扩散这一常见现象，有现成的实验规律——菲克定律（又称扩散定律）可以直接使用，其基本公式如下：
$$
\overrightarrow{q} = - D\nabla\rho
$$
其中：
- 式中负号代表扩散转移的方向（浓度减小的方向）和浓度梯度（浓度增大的方向）相反；
- D：扩散系数，与物质的种类以及环境温度有关；
- ∇ρ：浓度梯度，描述浓度不均匀分布的程度；
- 扩散流强度，即单位时间通过单位（横截）面积的质量，描述扩散运动的强度：
$$
\overrightarrow{q} = \frac{dm_{g}}{dVdt}
$$
在本研究中，针对常温环境（25℃）下植物甘油气雾在空气中的扩散系数，可进一步通过Chapman-Enskog方程
$$
D_{AB} = \frac{0.00143 \times T^{1.75} \times \sqrt{\frac{1}{M_{A}} + \frac{1}{M_{B}}}}{P \times \sigma_{AB}^{2} \times \Omega_{D}}
$$
进行估算，代入空气的平均分子量28.97 g/mol和估计的分子直径0.5nm可计算得到此时的扩散系数约为：
$$
D = 0.0962{cm}^{2}/s
$$
由于我们的研究区域是一个长方体的三维规则区域，故在研究坐标系的选择上，以长方体区域的底端顶点为原点，长、宽、高延伸方向作为$x、y、z$正方向建立空间直角坐标系，原点在长方体上的对角顶点坐标为$(x_{0},\ y_{0},z_{0})$。针对三个不同方向，还可以进一步地给出菲克定律的分量形式：
$$
q_{x} = - D\frac{\partial\rho}{\partial x},\ \ q_{y} = - D\frac{\partial\rho}{\partial y},\ \ q_{z} = - D\frac{\partial\rho}{\partial z}
$$
接下来将基于菲克定律和质量守恒定律给出三维扩散方程，即本研究涉及的数学物理方程：
对于空间中任一点(x, y, z)附近的无穷小空间而言：该空间内浓度变化取决于穿过其表面的扩散流。
考虑单位时间内x方向的扩散流：
左表面流入流量
$$
\left. \ q_{x} \right|{x}dydz
$$
右表面流出流量
$$
\left. \ q{x} \right|{x + dx}dydz
$$
故在单位时间内x方向净流入流量为
$$
\left. \ q{x} \right|{x}dydz - \left. \ q{x} \right|_{x + dx}dydz
$$
